documentclass{article}
usepackage{polski}
usepackage[utf8]{inputenc} 
title{MD. Praca domowa 4}
date{today}
begin{document}
maketitle
Nr Indeksu: 292437

Korzystając z podpowiedzi odnośnie liczb Bella udało mi się znaleźć wzór rekurencyjne na dręczące mnie zadanie. Zatem:
begin{displaymath}
S_n = sum_{k=0}^{n-1} {n choose k} S_k + [n=0]
end{displaymath}

Słowo wyjaśnienia. Szukamy "niedziurawych" funkcji, które przyjmuję wszystkie wartości z $<1,k>$, przy czym zbiór ów zawiera się w zbiorze liczb naturalnych $<1,n>$ dla ustalonego $n$ - zgodnie z treścią zadania. Każda taka funkcja przyjmuje wartość 1 (umownie zakładając, że dla n=0 jest to szczególny przypadek uwzględniony w nawiasach Iversona). Dalej, wybieram k argumentów które nie (!) będą wartości 1 (przy czym $0leq k<n$ - $k$ nie może przyjmować wartości $n$ ponieważ przynajmniej jeden argument przyjmie wartość 1). Jednak funkcja w ogóle nie musi przyjmować wartości innych niż 1 (takich również szukamy). "Zmienna" $k$ przyjmuje zatem wartości $<0, 1, 2, ..., n-1>$ (razem $n$ wartości). Stąd też wybieramy ${n choose k}$ oraz przyporządkowuję im wartości na $S_{k}$ sposobów (zgodnie z oznaczeniami na górze), ponieważ każde przyporządkowanie to nowa funkcja (bo jest różne przynajmniej na jednym argumencie). Na koniec sumujemy całość po $k$ z danego wyżej przedziału.

Posługując się powyższą rekurencją szukamy wykładniczej funkcji tworzącej. Całe równanie sumujemy i odpowiednio mnożymy ($sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!}$). Stąd:
begin{displaymath}
sum_{n=0}^{infty} S_n frac{x^n}{n!} = sum_{n=0}^{infty}  sum_{k=0}^{n-1} {n choose k} S_k frac{x^n}{n!} + sum_{n=0}^{infty} [n=0] frac{x^n}{n!}
end{displaymath}
begin{displaymath}
A(x) = sum_{n=0}^{infty} sum_{k=0}^{n} {n choose k} S_k frac{x^n}{n!} - A(x) + 1 
end{displaymath}
begin{displaymath}
2A(x) = sum_{n=0}^{infty} sum_{k=0}^{n} {n choose k} S_k frac{x^n}{n!} + 1
end{displaymath}
begin{displaymath}
2A(x) = e^x A(x) + 1 Longleftrightarrow A(x)(2-e^x) = 1 Longleftrightarrow A(x) = frac{1}{2-e^x}
end{displaymath}

Znów słowo komentarza. Kluczowa jest tutaj druga linijka.
end{document}